Найден новый способ непериодичного замощения плоскости

Изображение, которое складывается из непериодичной мозаики, выглядит как «ритмический орнамент» – картинка с трансляционной симметрией, в естественной среде встречающейся у кристаллов (иллюстрация Joshua E. S. Socolar et al.).

Учёные из университета Дюка (Duke University) разработали вариант так называемой непериодичной мозаики (aperiodic tiling). Она полностью покрывает плоскость, и при этом – впервые — использует в качестве исходных элементов плитки одной формы.

Математическая проблема непериодичного замощения плоскости существует уже около полувека. Самое известное её решение, мозаика Пенроуза (Penrose tiles), появилось в семидесятых годах XX века и использует два ромба немного различной формы.

Строго говоря, специалисты использовали две различные раскраски – вторая получается при отражении первой относительно вертикальной линии.
Правила замощения плоскости новой плиткой (вверху) таковы: чёрные линии в рисунке не должны прерываться, а флажки в вершинах шестиугольников (на расстоянии, равном длине стороны плитки, отмечены стрелочками на рисунке b) следует направлять в одну сторону. Внизу: вариант плитки с линиями трёх цветов (иллюстрация Joshua E. S. Socolar et al.).

Авторам нынешней работы для решения задачи хватило всего одной фигуры — правильного шестиугольника. При укладке таких плиток нанесённая на них раскраска образует узор, отвечающий определённым математическим законам.

В своей статье, выложенной в открытый доступ (PDF-документ), исследователи приводят многочисленные примеры плиток, которые дают непериодичное замощение при учёте одной лишь их формы – это шестиугольники с добавочными фрагментами.

Ещё один вариант непериодичного замощения плоскости плитками монохромной раскраски (двумерными). Области, которые выделены одним цветом, составляют одну плитку (иллюстрация Joshua E. S. Socolar et al.).

В последнем случае не нужно устанавливать связанные с раскраской дополнительные правила соединения. В 2D-варианте такие плитки состоят из визуально изолированных областей, но в 3D — все их части связаны, как кусочки головоломки. Читайте также про удивительные примеры непериодичной мозаики в древних мечетях и квазикристаллах.



Вычислены все конгруэнтные числа до триллиона

23 сентября 2009

Теория игр подсказала биологам пути атаки на рак

9 сентября 2009

Парадокс конвертов губит природную симметрию случая

19 августа 2009

Воспоминания моллюсков выводят узоры на растущих раковинах

9 апреля 2009

Учёные затрясли вирусы до смерти

6 февраля 2008