Игры разума: доказательство стоимостью в миллион долларов

Мартин Данвуди.

Британский математик Мартин Данвуди предложил новый способ решения гипотезы Пуанкаре столетней давности. Если доказательство окажется верным, Данвуди получит миллион американских долларов.

По правде сказать, в связи с этим событием любопытно две вещи: во-первых, что, собственно, это за задачка на миллион, и, во-вторых, неужели, действительно, заплатят?

С Пуанкаре дела обстоят настолько сложно, что надо быть экспертом в алгебраической топологии, чтобы понять, что к чему. Тем не менее, рискнём сунуть нос в суть проблемы. Если вам «не сюда», смело пропускайте пару абзацев.

«Загадка Пуанкаре» — это предположение математика Анри Пуанкаре (кстати, кузена Раймона Пуанкаре, президента Франции с 1913 по 1920 г, которого за милитаристскую политику прозвали «Пуанкаре-война») о свойствах многомерного пространства, которое он сделал в 1904 году. Тогда Пуанкаре только начинал заниматься топологией.

Как пишет New Scientist, чтобы перевести топологические (грубо говоря — геометрические) данные на язык алгебры, Пуанкаре изобрёл так называемые «гомотопические группы», которые объясняют сущность многомерных пространств в алгебраических терминах. Пуанкаре доказал, что всякая (двумерная) поверхность, имеющая ту же фундаментальную группу, что и сфера, топологически ей эквивалентна. Он полагал, что, по аналогии, то же самое верно и для трёхмерных поверхностей.

Анри Пуанкаре

За последние пятьдесят лет математики подтвердили гипотезу Пуанкаре относительно других «мерностей», причём в каждом случае использовались самые разнообразные способы доказательств. В 1982 году была решена задача для четырёхмерных пространств. Однако ни одна из предложенных стратегий не годилась для трёхмерного измерения.

Вот эта «лакуна» («слабое звено») и привлекла внимание математика Саутхэмптонского Университета (Southampton University) Мартина Данвуди (Martin Dunwoody), который начал с того, что сфокусировал внимание на специфических свойствах трёхмерных пространств. Далее Данвуди попытался доказать, что гипотеза Пуанкаре верна для трёхмерных поверхностей. Оказывается, уже только это достойно признания.

Собственно говоря, ликовать, конечно, ещё рано: как такового, доказательства пока нет, лишь версия возможного разрешения. Что называется, стратегия и тактика доказательства. По словам математика Мэтта Брина (Matt Brin) из Нью-Йоркского Университета (State University of New York), который помогал Данвуди, ещё слишком рано делать какие-либо заявления.

Теперь — о том, кому, собственно, всё это надо и не превращается ли миллион в морковь на палочке. Оказывается, по мнению специалистов бостонского института математики Клэя (Clay Institute in Boston), загадка Пуанкаре — одна из семи принципиальных для развития математики в будущем тысячелетии задач.

Приз за доказанную гипотезу выплачивается из специально созданного институтом фонда, цель которого — развивать науку и всячески её поддерживать. Каждая из семи недоказанных и неразрешённых задач и парадоксов ждёт своего часа и решение каждой — это, действительно, сенсация, причем все они, по мнению учёных из института Клэя, равнозначны и оцениваются в миллион.

Кроме гипотезы Пуанкаре, в списке «семи чудес», озаглавленном Millennium Prize Problems, упоминаются гипотеза Римана, уравнение Навье-Стокса, гипотеза Ходжа, теория Янга-Миллса. Говорят, что если их удастся решить, то «человечество сделает шаг вперед в освоении воздушного и космического пространства и криптографии».

Однако, при кажущейся беспечности и размашистости нулей, ритуал «апробации» настолько долог и тернист, что, кажется, Данвуди взялся доказывать гипотезу из бескорыстного интереса. Посудите сами.

По правилам Научного консультативного совета института, новая гипотеза должна быть опубликована в специализированном журнале, имеющем «международную репутацию». Кроме того, Институт заявляет, что решение о выплате приза принимает, в конечно счёте, «математическое сообщество»: доказательство не должно быть опровергнуто в течение двух лет после публикации. Проверкой каждого доказательства занимаются математики в разных странах мира. К примеру, только на предварительный анализ работы Данвуди потребуется несколько месяцев.

Все это время автор не получает ни копейки. Через два года создается специальный комитет, в который должны войти как минимум один представитель Института Клея и как минимум два других, «незаинтересованных», эксперта.

Не исключается ситуация, когда приз делится между несколькими учёными, решившими задачу в группе или по отдельности — в течение этих двух лет. Допускается, что в течение этого времени кто-то разрешит задачу частично, и когда кто-то другой завершит работу, приз поделят — не факт, что поровну.

Если в течение двух лет кто-то опровергнет соискателя, то оппоненту тоже дадут денег, так что у Данвуди в течение ближайших двух лет появятся небескорыстные «доброжелатели». Не исключено, что через два года версия Данвуди будет отклонена, а через 10 лет, после получения новых данных, к ней опять вернутся, и уже дети Данвуди получат хоть часть суммы.

В общем, если разобраться в изысканно-бюрократическом лабиринте правил, вся эта филантропия что-то сильно напоминает гладиаторскую арену, на которую, робко прижимая к груди мелко исписанные листы, вышел стареющий математик. Хотя почти диккенсовская внешность Данвуди свидетельствует о стоическом характере и британском напоре. А вдруг, действительно, свершилось?

Юрий Смирнов

Мы попросили заместителя заведующего кафедрой высшей геометрии и топологии мехмата МГУ доктора математических наук Юрия Михайловича Смирнова объяснить, в чём суть «задачки» Пуанкаре и прокомментировать статью в New Scientist.

— Объяснить популярно даже для некоторой части математиков (например, занимающихся вычислительными задачами) это, по-моему, невозможно. Ведь надо хоть немного сказать, что такое гомотопические группы, введённые, вопреки автору New Scientist Роберту Маттеусу (Robert Matthews), не Пуанкаре, а польским математиком В. Гуревичем.

Пуанкаре определил лишь так называемую фундаментальную группу — первую из гомотопических групп — и доказал, что всякая (двумерная) поверхность, имеющая ту же фундаментальную группу, что и сфера, «топологически ей эквивалентна». Трёхмерный случай даже для формулировки требовал создания второй гомотопической группы, что сделал В. Гуревич. Более того, этот случай до сих пор не решён. Зато решён четырёхмерный случай.

Что же касается британского математика Мартина Данвуди, то в статье правильно сказано, что доказательства ещё нет, а автор лишь думает, что он нашёл некоторый путь решения и этим хочет как бы «застолбить» путь к получению миллионной премии и математическому бессмертию.



Простое число рассчитали за полтора месяца

27 февраля 2002