Невероятное Gömböc переворачивает само себя

У этого неповторимого объекта нет противовеса внутри, однако он ведёт себя как кукла-неваляшка (фото G. Domokos).

Все прекрасно представляют, как работает неваляшка: сочетание особой формы и утяжелённого дна даёт забавный эффект. Но возможно ли создать объект, который обладал бы аналогичными свойствами, будучи гомогенным внутри, без смещённого центра тяжести? Это кажется невероятным, но такое тело существует.

Проблема неваляшки кажется пустяковой, пока не задумаешься, что эта игрушка обладает весьма интересными качествами. Так у неё есть только одно положение устойчивого равновесия и только одно положение неустойчивого равновесия (на голове). Почти любое другое тело, сколь бы сложным оно ни было, можно устойчиво поставить несколькими способами.

Создание гомогенного тела, обладающего свойствами неваляшки — это настоящий вызов математическому уму. И, собственно, два венгерских математика взялись за решение этой нетривиальной задачи: Габор Домокош (Gábor Domokos) из Будапештского университета технологий и экономики (BME) и Петер Варкони (Péter Várkonyi), работающий сейчас в Принстонском университете (Princeton University).

Достаточно ли одной только специальной формы объекта, чтобы он самостоятельно поднимался после опрокидывания? Друзья начали с разрешения этой задачки для двухмерных объектов — они вырезали из фанеры сложные фигуры, ставили их на ребро и смотрели, как они ведут себя при опрокидывании.

Принцип неваляшки прост. А вот создать такой же объект без смещения центра тяжести – непростая задача (фото P. Várkonyi).

В конце концов, экспериментаторы смогли математически доказать, что у любой плоской формы есть, по меньшей мере, две точки устойчивого равновесия и, как минимум, две точки неустойчивого равновесия.

Но Габор и Петер намеревались создать усовершенствованный вариант неваляшки, а значит, нужно было подумать о трёхмерных объектах.

Они попробовали распространить свою «двухмерную» теорию на более высокие измерения и поняли, что трёхмерный самовосстанавливающийся объект, вероятно, может существовать. Но у него будет уже только одна точка устойчивого равновесия и только одно положение неустойчивого равновесия. Но как должно выглядеть такое тело?

Сначала, в поисках ответа на свой вопрос, исследователи обратились к природе. Так Домокош, отдыхая в Греции во время медового месяца, проверил на равновесие две тысячи камушков на берегу моря, но ни один экземпляр гальки не захотел сам «вскакивать», как неваляшка. «Почему он всё ещё женат — другой вопрос, — смеётся Варкони, — такое способна вынести далеко не каждая женщина».

Благодаря терпению ли жены Домокоша, или в силу таланта двух математиков, но искомый объект был построен. Сначала — чисто математически. Затем сотоварищи составили уравнения, по которым было вырезано уникальное тело.

Оно действительно восстанавливало единственное своё устойчивое положение при опрокидывании и переворачивании каким угодно образом. И у него действительно точка устойчивого равновесия была всего одна, и имелась лишь одна точка неустойчивого равновесия.

Ещё несколько снимков удивительного тела, созданного венгерскими математиками (фото с сайта gomboc.eu).

Объект назвали «Gömböc». Множество людей, приходя в гости в офис Петера, где ныне лежит эта штуковина, никак не могут наиграться с удивительным предметом. Хотя для тех, кто понимает, данное уникальное тело — далеко не игрушка.

Осенью 2006-го Gömböc красовался на обложке престижного журнала Mathematical Intelligencer, как пишет Домокош, «впервые с 1979 года, со времени появления кубика Рубика, венгерское изобретение снова попало в этот журнал».

Индийская звёздчатая черепаха не подозревает, что похожа на Gömböc (фото P. Várkonyi).

Интересно, что после изготовления Gömböc’а Домокош и Варкони сразу подумали: «что-то он нам напоминает». И быстро нашли очень похожий объект в природе. Им оказалась индийская звёздчатая черепаха, отличающаяся весьма необычным панцирем.

Действительно, ни одна черепаха не желает застревать на спине. И почему бы эволюции не придать ей форму неваляшки?

Правда, в реальности панцирь звёздчатой черепахи не столь совершенен, как Gömböc. Если черепаха эта опрокинется на спину, она может перевернуться обратно только после небольшого толчка ногами. Зато потом процесс быстро завершается естественным образом, и в этом отношении данные черепахи выгодно отличаются от своих собратьев других видов.

Как когда-то с галькой учёные решили на практике проверить «работоспособность» черепашьего панциря. Друзья испытали на «самопереворачиваемость» 30 звёздчатых черепах и нашли, что многие из них действительно переворачиваются со спины на живот лишь после очень маленького начального подталкивания.

На этом, впрочем, загадки тел-неваляшек не были исчерпаны. Исследователи обратили внимание на то, что у Gömböc’а грани имеют сложную, скруглённую форму. Что и придаёт ему столь необычные свойства. Но возможно ли построить гомогенное (без грузов внутри) тело, чтобы у него были только плоские грани, и чтобы оно также вставало после опрокидывания?

И снова Gömböc крупным планом (фото с сайта gomboc.eu).

Венгерские экспериментаторы не смогли вычислить такой объект, хотя по их прикидкам, такое тело вполне может существовать. А поскольку вопрос с этим объектом не даёт нашим героям спокойно спать, они объявили о призе тому, кто отыщет такую необычную форму.

$10 тысяч, делённые на число граней искомого тела. Такова награда. Соблазнительно? Но Домокош и Варкони знают, что почти ничем не рискуют. По их оценке, такое тело, если оно вообще возможно, должно обладать тысячами граней. Так что приз победителю составит несколько центов. Но ведь, на самом-то деле, искателей экзотической самоуравновешивающейся формы должен привлечь вызов интеллекту.

А если такой изобретатель окажется ещё и с коммерческой жилкой, он вполне сможет наладить выпуск своей игрушки. «Неваляшки 2.0» (или даже 3.0, если за 2.0 посчитать Gömböc). Почему бы и нет? Прославился же Рубик своей головоломкой на весь свет, предварительно изрядно поломав голову сам.



Треугольные моря готовят инженерам спиральные достижения

7 ноября 2006

Физик победил вампиров с помощью математики

30 октября 2006

Математик Андрей Окуньков получил эквивалент Нобелевской премии

22 августа 2006

Российский учёный продолжает удивлять мир математики

18 августа 2006

Опыты математиков превращают мяч в футбольный пончик

3 августа 2006